研究成果

浏览: 更新时间:2013年10月23日 字体:A+ A-

 

 沈捷
1.(Jie Shen) We considered the numerical simulations of the energetic Allen-Cahn and Cahn-Hilliard phase-field models for two-phase (one ematic liquid crystal phase and one Newtonian viscous fluid phase) complex fluids. Such models obey the energy dissipation law which the numerical schemes attempt to capture. Two groups of unconditionally energy stable numerical methods are developed by using  a stabilization technique and a convex-splitting approach. The resulting methods lead to linear decoupled elliptic equations which are easy to solve. Numerical results for Allen-Cahn equations in 3D cylindrical domains are provided to validate the performance of the methods.
   The results were published in SIAM J. Sci. Comput.36: B122-B145, 2014.
 

2.(Claude-Michel Brauner and Jie Shen) We considered a model of as-solid combustion with free interface proposed by L.Kagan and G.I. Sivashinsky. Our approach is twofold: (I) we eliminate the front and get to a fully nonlinear system with boundary conditions; (II) we use a fourth-order eudo-differential equation for the front to achieve asymptotic regimes in rescaled variables. In both cases, we implement a numerical algorithm based on spectral method and represent numerically the evolution of the char.  Fingering pattern formation occurs when the planar front is unstable.A series of simulations are presented to demonstrate the evolution of sparse fingers (I) and chaotic fingering (II).
   The results are to be published in Math. Models & Methods Appl. Sci.
 

3.(Jie Shen and Chuanju Xu) We developed an efficient parallel algorithm for the time dependent
incompressible Navier-Stokes equations . The time discretization is based on a direction splitting
method which only requires solving a sequence of one-dimensional Poisson type equations at each time step. Then, a spectral-element method is used to approximate these one-dimensional problems. A Schur-complement approach is used to decouple the computation of interface nodes from that of interior nodes, allowing an efficient parallel implementation. The unconditional stability of the full discretized scheme is rigorously proved for the two-dimensional case. Numerical results are presented to show that this algorithm retains the same order of accuracy as a usual spectral-element projection type schemes but it is much more efficient, particularly on massively parallel computers.
   The results were published in Appl. Numer. Math. 84: 66-79, 2014.
 

 4. (Jie Shen) We considered orthonormal mapped Chebyshev functions (OMCFs) in unbounded domains. Unlike the usual mapped Chebyshev functions which are associated with weighted Sobolev spaces, the OMCFs are associated with the usual (non-weighted) Sobolev spaces. This leads to particularly simple stiffness and mass matrices for higher-dimensional problems. The approximation results for both the usual tensor product space and hyperbolic cross space are established.
   The results were published in J. Comput. Appl. Math. 265: 264-275, 2014.
 

邱建贤
 

1.我们已完成了三维非结构网格情况下的WENO型及Hermite WENO型限制器的研究,以提高算法在复杂几何区域问题的应用性。已具体得到三维非结构网格上的HWENO格式的构造方法和编制了相应程序。之后编制出三维非结构网格上的RKDG方法。通过利用TVB minmod 判别法来探测需要使用限制器的“坏区域”,然后在这些“坏区域”中利用加权基本无振荡的两类 (WENO和HWENO) 方法来重新构造新的代数多项式,只保留原多项式的平均值不变,得到了能保持RKDG方法的精度且稳定的限制器。这些格式具有较强的激波穿透和保持格式高精度的能力且便于在实际中应用。这一方法在我们的数值试验中取得了良好的效果。此外,我们在二维非结构网格上构造了一种新的WENO限制器,具有比以往的WENO,HWENO 限制器空间模板更紧凑,构造更简单且更适用于本课题的并行计算的优点。我们将其应用于RKDG方法的数值计算,该部分文章已发表(J. Comput. Phys., 2013, 200-220)。其后,我们在结构网格上构造一种新的HWENO限制器,能将上述方法的适用范围由三阶精度扩展到四阶精度,相关文章已投(SIAM J. Sci. Comput.)。
 

2.在现有的有限差分(finite difference)或有限体积(finite volume)WENO和HWENO框架下,我们通常在代数多项式空间中构造代数插值多项式,如果问题本身就具有高频振荡的属性,那么这样处理的话可能会导致较大的数值误差。为此,舒其望教授等人在1996年提出:在ENO框架下通过在三角函数空间中构造插值多项式进行数值逼近以解决含有高频振荡的标量问题。我们在其基础之上主要做了以下工作:将Shu等人提出的有限差分框架下三角函数ENO型格式推广应用到有限差分框架下三角函数WENO型格式。通过计算得到相应的线性权,光滑指示器,非线性权的计算公式和具体表达式,由之前的标量问题推广应用到各种方程组问题的数值模拟中去,能较好地解决各种含有高频振荡信号源的数值模拟问题。将有限差分框架下的三角函数WENO格式推广得到有限体积框架下的三角函数WENO格式(J. Sci. Comput.,  606–644, 2013), 同时给出一种基于正交三角函数基的RKDG方法,并应用方法对高频振荡问题进行了数值计算。如仅遇到弱间断时,该方法能良好工作;在遇到强间断时,为不降低此类RKDG方法的数值精度,不出现非物理振荡,且具有较强的数值稳定性,我们将上述有限体积三角函数WENO作为限制器对“坏单元”中的自由度进行三角函数多项式重构。尤其值得关注的是:该方法如应用到不具有高频振荡的问题计算时能仍保持不亚于经典的基于正交代数多项式基的RKDG方法的模拟效果,因此具有普适性。
 

3.在数字信号图像处理,运动物体轨迹描述和多介质流体的数值模拟时如何精确地得到运动物质界面至关重要。这一问题又主要归结于如何利用高精度计算格式来精确地求解具体的某一特定Hamilton Jacobi (HJ) 方程。在求解HJ方程时,一个行之有效的途径是通过将HJ方程转化为双曲守恒律,然后通过数值模拟守恒律从而间接求解HJ方程。 在求解HJ方程时,一个方法是对HJ方程求导得到新的方程,该方程具有双曲守恒律的性质,通过对新方程进行数值模拟,将数值解再回带到原方程中计算,可求得HJ方程的解。目前较经典的处理方式是基于有限差分的ENO,WENO计算格式。在求解上述HJ方程时,我们给出一种在非结构网格情形下将有限差分和有限体积框架相混合的HWENO格式(J. Comput. Phys., 76–92, 2013),能在保持计算模板更加紧凑的情况下同时具有高精度性且具有较高的数值稳定性,随后将其引入到多介质流体中界面函数控制方程的计算中去。接着,我们已在结构网格上针对HJ方程提出了一类新的基于有限体积框架下的高精度数值计算格式,只需要一套紧凑的空间模板集合即可完成高精度多项式的重构,计算得到线性权,光滑指示器并据此得到非线性权。多个经典数值算例的数值结果表明该计算格式的截断误差更小。相关文章已发表(CiCP, 15: 959-980, 2014)。之后我们将其推广至二维非结构网格,同样是在有限体积框架下采用一套紧凑的空间模板能得到较高的数值精度和保持较强的数值稳定性,能保证计算格式不会违反熵增原理。相关的文章已在Commun. Comput. Phys., Computers & Mathematics with Applications发表。
 

4.我们将高精度有限体积WENO和HWENO限制器的RKDG方法应用于多介质流问题的数值模拟(Appl. Numer. Math.,  554- 580, 2011),同时采用一种一维守恒型的界面处理方法,在保持格式的一致高精度性质的同时基本不出现非物理的数值振荡,对靠近界面边界处的间断Galerkin方法解中自由度的重构策略进行了深入探讨。由于多介质流问题自身是一个守恒系统,因此一种守恒的方法能更好地模拟系统,我们的数值实验对这一点进行了证实。在一维情形时,我们详细给出了变区间长度的WENO型限制器的具体构造策略和计算公式,确实能在保持格式时空一致高阶数值精度的同时有效达到基本无振荡的特性。与流行的多介质流问题界面处理法中的虚拟流方法Ghost Flow Method(GFM)及修正虚拟流方法Modified Ghost Flow Method (MGFM)相比,我们的界面处物理量的处理方法是守恒的而且具有高精度性,与此相比GFM和MGFM 处理方法都是非守恒的,且最多只有一阶和二阶精度。此外,还在自适应网格上直接利用间断Galerkin方法来求解距离函数对应的HJ方程。将WENO作为RKDG方法的限制器,结合新的等熵一流体模型对多相流运动中出现的流体空化问题进行了一维和二维问题的数值模拟(Computers & Fluids,  52–65, 2012),对比现有的MUSCL格式的计算结果,能得到令人满意的数值结果。我们将单介质区域的WENO型限制器的构造策略拓展到空化区域,空化区域与液体介质区域混合边界处的具体处理。之后,又对水下强激波作用于空化区域的现象(如水下超空泡鱼雷发射,爆炸问题)进行了数值模拟,能正确解释其成因和工作机理。研制了自适应笛卡尔网格Euler方程的多种浸入边界数值计算格式,非结构网格下浸入边界方法用于粘性可压缩流体,流动控制问题的研究等。我们将单介质中的DG方法应用到多介质流计算中,对距离函数控制方程采用HWENO格式,RKDG方法计算。在应用WENO型限制器对“坏单元”上的自由度进行重构时,如果多介质界面恰好将计算单元分割为不规则区域时,由于该守恒型多介质物质界面是运动的,会使网格单元尺寸发生动态变化,我们给出相应的几个动态计算公式:多项式的构造公式,线性权计算公式,光滑指示器计算公式以及非线性权计算公式。在多介质流自适应处理时,给出带限制器的RKDG方法自适应策略,距离函数控制方程DG方法自适应策略。能将多种结构网格上的计算格式成功应用到复杂物体绕理问题的数值模拟得到较好的数值结果,且对网格的依赖程度较低。研究成果分别在Inter. J. Numer. Methods Fluids发表及被J. Math. Study录用。
 
5.在传统的HWENO框架下,我们常常需要计算数值流通量来近似逼近网格交界处的流通量,且通常采用显式的三阶TVD Runge-Kutta 方法作为时间离散。我们提出了一类求解一维和二维双曲守恒律的高阶中心HWENO数值格式。该类格式为基于交错网格的中心有限体积格式,并使用HWENO重构作为空间离散,以Lax-Wendroff 方法或NCE of Runge-Kutta方法作为时间离散。相比于传统的HWENO格式,该格式不需要进行通量分裂和计算数值流通量;相比于中心WENO格式,该格式的空间重构更加紧致。对比传统的HWENO格式的计算结果,该格式能得到令人满意的数值结果,且研究成果已发表在J. Comput. Phys.。
 

6.基于WENO 格式的基本思想,在2004 年由Qiu 和Shu 提出了一类有限体积形式的HWENO 格式。最近,我们给出了HWENO 这种高阶数值方法的有限差分形式,使用Hermite 插值技术,时间由Runge-Kutta 方法向前推进,求解一维和二维非线性双曲守恒方程(组)。与WENO 格式的重构不同,HWENO 格式的重构不仅需要用到函数值还要用到其相应的导函数值,而WENO 的重构只需要用到原函数值即可。且与原始的WENO 重构思想相比,HWENO 格式最主要的优点是在重构过程中它具有紧性。比如,我们要重构一个五阶精度的多项式,若用WENO 格式,需要五个点的模板才能实现,而用HWENO 格式,由于同时使用对应点上的函数值和导函数值,则只需三个点的模板即可。 与有限体积HWENO方法相比,有限差分HWENO方法的计算量小,是其一个主要的特点。该研究成果已被J. Sci. Comput.录用。
已发表论文目录
1.J. Zhu and J. Qiu, WENO schemes and their application as limiters for RKDG methods based on trigonometric approximation spaces. J. Sci. Comput., 55: 606–644, 2013.
2.J. Zhu, X. Zhong, C.-W. Shu and J. Qiu: Runge-Kutta discontinuous Galerkin method using a new type of WENO limiters on unstructured mesh. J. Comput. Phys., 248: 200-220, 2013.
3.J. Zhu and J. Qiu: Hermite WENO schemes for Hamilton-Jacobi equations on unstructured meshes. J. Comput. Phys., 254: 76-92, 2013.
4.J. Liu, J. Qiu, O.Hu, N. Zhao, M. Goman and X. Li: Adaptive Runge-Kutta discontinuous Galerkin method for complex geometry problems on Cartesian grid. Inter. J. Numer. Methods Fluids, 73 : 847-868, 2013.
5.J. Zhu and J. Qiu: Finite volume Hermite WENO schemes for solving the Hamilton-Jacobi equation. Commun. Comput. Phys., 15: 959-980, 2014.
6. G. Li and J. Qiu: Hybrid WENO schemes with different indicators on curvilinear grid. Adv. Comput. Math., 40(2014): 747-772.
7. J. Zhu and J. Qiu: Finite volume Hermite WENO schemes for solving the Hamilton-Jacobi equations II: unstructured meshes. Computers Math. Appl., 68: 1137-1150, 2014.
8. J. Zhu and J. Qiu: Adaptive Runge-Kutta discontinuous Galerkin methods with the modified ghost fluid method for solving the compressible two-medium flow. J. Math. Study, 47: 250-273, 2014.
9. Z. Tao, F. Li and J. Qiu: High-order central Hermite WENO schemes for hyperbolic conservation laws. J. Comput. Phys., 281: 148-176, 2015.
10. H. Liu and J. Qiu: Finite Difference Hermite WENO schemes for conservation laws. J. Sci. Comput., to appear.
 

许传炬
 

1.提出并分析了一类求解 Cahn-Hilliard 相场方程的数值格式。该格式结合了大步长时间离散方法和空间谱元法,对于一阶格式,我们利用能量方法证明了稳定性和收敛性,并给出了严格的误差估计。我们利用该方法模拟了几种二维两相流体,观察到了一些有意思的气泡上升现象,其机理有待从物理上进行解释。
相关论文发表在
Lizhen Chen and Chuanju Xu. A Time Splitting Space Spectral Element Method for the Cahn-Hilliard Equation. East Asian Journal on Applied Mathematics,  3(4): 333-351, 2013.
 

2.微分积分方程的时间并行算法.
  我们提出了一种并行的时间(也称为time-parareal)离散方法来解决一类微分积分方程。并行时间方法如同区域分解法,其基本思想是将计算域剖分成子域,然后迭代且并行地求解各子区域上的子问题。为获得高精度,子问题的求解采用高精度的谱配置法。我们的主要贡献在于:i)针对积分方程设计parareal方法,据我们所知这是首次。该新方法结合了并行迭代和谱逼近,可以导致很高的计算精度; ii)提供了一个新的收敛性分析方法;iii) 数值实验证实,基于并行实现的算法总体计算成本显著减少。
相关论文发表在
Xianjuan Li, Tao Tang, and Chuanju Xu. Parallel in time algorithm with spectral-subdomain enhancement for volterra integral equations. SIAM J. Numer. Anal,  51(3): 1735-1756,2013.
 

3. 研究了人体颈动脉粥样硬化斑块的力学建模及其数值计算。颈动脉粥样硬化斑块的动力学行为由Navier-Stokes 方程和弹性方程耦合描述。借助一定的假设,我们将该问题简化为一个弹性力学方程,并构造了一个针对模型简化方程的有效算法。
 

4.在基础理论研究方面,考察了分数阶方程两点边值问题解的正则性,得到了当右端项无穷光滑时,方程的解在一定的假设条件下也是无穷光滑的,这为研究分数阶的高阶数值方法提供了理论依据。其次,我们研究了无约束的时间分数阶扩散方程最优控制问题的谱方法,推导了一阶最优性条件,对时空谱离散逼近作了先验误差分析,设计了求解离散最优控制问题的共轭梯度算法,并给出了选择最优迭代步长的方法。
   相关论文发表在
Junying Cao, Chuanju Xu. A high order schema for the numerical solution of the fractional ordinary differential equations. Journal of Computational Physics,  238: 154-168, 2013.
Xingyang Ye, Chuanju Xu. Spectral Optimization Methods for the Time Fractional Diffusion Inverse Problem. Numer. Math. Theor. Meth. Appl.,  6(3): 499-519, 2013.